Thème: Turbulence, Modélisation - Retour.

Description multifractale unifiée du phénomène d'intermittence en turbulence Eulérienne et Lagrangienne

A. Arneodo, B. Castaing, L. Chevillard , E. Lévêque, J.-F. Pinton S.G. Roux.

Collaborations: N. Mordant (LPS - ENS Paris)

Dans le contexte de la turbulence des fluides, c'est-à-dire l'étude des écoulements à très grands nombres de Reynolds, les physiciens ont traditionnellement étudié les profils spatiaux de vitesse longitudinale turbulente u_x(x) à cause de leur facilité d'accès expérimental (Jet d'air ou d'Hélium [1,2], Soufflerie géante [3], machine de von Karman [4,5,6], ...). En exploitant l'hypothèse de Taylor [7], dite de turbulence gelée, qui permet d'interpréter un profil temporel de vitesse turbulente enregistrée en un point de l'espace comme un profil spatial. Depuis les travaux précurseurs de Kolmogorov [8], la plupart des physiciens appréhendent la turbulence des fluides à travers l'étude du comportement dans les échelles l des statistiques des incréments de vitesse, δ_l u(x)=u(x+l)-u(x). Suivant Kolmogorov [8], à très hauts nombres de Reynolds R_e, dans le domaine d'échelles inertielles, délimité par l'échelle dissipative η_K et l'échelle de décorrélation L (appelée échelle intégrale), les propriétés statistiques des incréments de vitesse sont invariantes d'échelle (par exemple, l'incrément de vitesse se comporte comme une puissance non-entière de l'échelle, δ_lu ∼ l^1/3 et de manière équivalente, le spectre de puissance se comporte vis à vis du vecteur d'onde k comme k^-5/3) et universelles (indépendantes du nombre de Reynolds). En particulier, la forme de la distribution des incréments δ_lu(x$ évolue avec l'échelle l. C'est le phénomène d' intermittence

Durant les dernières décennies, de nombreux cadres phénoménologiques ont été proposés pour décrire de façon fine l'évolution de ces statistiques le long des échelles. Par exemple, l'approche multifractale [11] décrit le signal turbulent comme une suite de singularités δ_lu(x)∼ l^h(x), les points où h(x)=h constituant un ensemble fractal de dimension D(h). Mais peu de travaux ont tenté d'en faire une théorie, qui même sur des bases phénoménologiques, soit capable de prédire certaines propriétés statistiques non triviales. C'est ce que nous nous sommes attaché à faire au laboratoire de Physique de l'ENS Lyon.

Par exemple, un des rares essais prédictifs a été celui de Frisch et Vergassola [12], tentant de décrire à partir de l'approche multifractale la façon dont on transite du domaine inertiel au domaine pleinement dissipatif (où δ_l u(x)=l ∂_xu(x) ) à travers un domaine dissipatif intermédiaire. Mais des hypothèses trop simplificatrices rendaient impossible la comparaison avec l'expérience. C'est pourquoi nous avons repris ce travail avec comme objectif de décrire quantitativement la probabilité (plus précisément sa partie symétrique) de mesurer un incrément de vitesse δ_lu(x), à une échelle l quelconque (échelle de nature inertielle, dissipative-intermédiaire ou dissipative-profond). En particulier, Les prédictions obtenues, en particulier pour le comportement de la flatness en fonction du nombre de Reynolds, s'avèrent être en bon accord avec l'expérience. Ce travail a fait lieu d'une publication(lien vers le fichier pdf).

Nous avons récemment généralisé l'approche précédente à la partie antisymétrique de la probabilité de mesurer un incrément, en unifiant formellement l'approche du propagateur [3] et le formalisme multifractal [11]. Cette étude nous a permis notamment de prédire en fonction du nombre de Reynoldsle comportement dans les échelles du phénomène de Skewness, comportement inexpliqué jusque là. En particulier, nous avons montré que le formalisme multifractal, couplé à une relation exacte issue des équations de Navier-Stokes (relation de Karman-Howarth-Kolmogorov) prédit l'universalité de la Skewness dans le domaine inertiel, à savoir non seulement son évolution, mais aussi sa valeur. Plus précisemment, nous avons réussi à montrer que celle-ci est liée à une puissance de la constante de Komogorov c_K, ce qui est une avancée majeure dans notre compréhension phénoménologique de la turbulence. Nous présentons dans la référence [14] une comparaison entre nos prédictions théoriques et des signaux expérimentaux acquis dans différentes géométries [1,2,3] et des signaux numériques obtenus par simulation directe des équations de Navier-Stokes à très grands nombres de Reynolds. Ce travail est résumé dans notre publications (lien vers le fichier pdf).

Ce n'est que très récemment que les expérimentateurs sont parvenus à suivre des traceurs passivement advectés par un écoulement turbulent réalisant ainsi une description Lagrangienne de l'écoulement [15,16]. Notre contribution a aussi consisté à modéliser les petites échelles de la turbulence Lagrangienne, c'est-à-dire en généralisant le formalisme multifractal [11] et l'approche du propagateur de Castaing et al. [3] aux fluctuations Lagrangiennes de vitesse turbulente. Il nous a été alors possible d'établir une formulation analytique de la probabilité P(δ_τ v) de mesurer un incrément de vitesse Lagrangienne δ_τ v(t)=v(t+τ)-v(t) sur un temps τ, à un nombre de Reynolds R_e et pour un spectre de singularités D(h) donné. Nous avons comparé cette expression théorique à des mesures expérimentales et des simulations numériques et nous avons montré que ce formalisme permet notamment d'expliquer les fluctuations des incréments de vitesse à des échelles τ inertielles mesurées par le groupe de Lyon ( lien vers l'article), mais aussi, dans la limite τ → 0, de prédire la forme de la probabilité d'accélération des particules fluides mesurée par le groupe de l'université de Cornell [15]. Nous avons ainsi confirmé que l'accélération Lagrangienne peut être appréhendée comme la limite à échelle nulle des incréments de vitesse et que l'intermittence des échelles inertielles est responsable du caractère hautement probable des évènements d' accélération violente (∼ 3000g, où g est l'accélération de la pesanteur). Ces travaux ont donné lieu à une publication (lien vers le fichier pdf)
Représentation des spectres de singularité D(h): Spectre Eulérien estimé à partir des données expérimentales et utilisé pour calculer les prédictions théoriques représentées dans la figure 1 (gauche) [en bleu]; Spectre Lagrangien estimé à partir des données expérimentales et utilisé pour calculer les prédictions théoriques représentées dans la figure 1 (droite) [en vert]. Est représenté par un trait continu la transformée du spectre Eulérien (en bleu) par une transformation non linéaire donnant son équivalent Lagrangien. Est représenté par un trait pointillé la transformée du spectre Lagrangien (en vert) par l'inverse de cette transformation donnant son équivalent Eulérien. L'accord expérimental et théorique est excellent dans la partie croissante des spectres.

Nous nous sommes ensuite demandés comment l'évolution temporelle du champ Eulérien influence la dynamique des particules fluides. Pour répondre à cette question, nous avons réalisé une étude numérique originale, en simulation directe des équations de Navier-Stokes, qui consiste à analyser trois différents types de profils temporels de vitesse : (i) Lagrangienne le long d'une trajectoire, (ii) de particules fluides évoluant dans un champ Eulérien figé dans le temps et (iii) Eulérienne en un point fixe du champ. Cette étude révèle l'existence de deux types de spectre de puissance : un spectre Lagrangien (E^L(ω) ∼ ω^-2, lorsque la fréquence ω se situe dans le domaine inertiel) qui se distingue clairement des spectres des fluctuations de vitesse des particules évoluant dans un champ Eulérien figé (E^S(ω) ∼ ω^-5/3) et des fluctuations temporelles de vitesse à un point fixe de l'espace (E^T(ω) ∼ ω^-5/3), ces derniers étant complètement pilotés par le "sweeping effect" [18,19,20]. Ces résultats suggèrent que l'évolution temporelle du champ de vitesse Eulérien, et plus particulièrement ses corrélations, influence drastiquement la dynamique des particules fluides, ce qui limite la portée des modèles simplifiés de convection, tel que le modèle γ-corrélé en temps de Kraichnan [21]. Ce travail a donné lieu à deux articles (liens vers pdf1 et pdf2).

En résumé, notre contribution consiste en une unification des différents mécanismes physiques de la turbulence des fluides :

Unification des échelles inertielles et dissipatives.
Unification de la statistique de l'amplitude des fluctuations de vitesse et de celle de leurs signes, avec comme résultat important la démonstration que la constante de Kolmogorov régit la statistique du signe des incréments de vitesse.
Unification des statistiques Eulériennes et Lagrangiennes. En particulier, nous sommes parvenus à établir une relation non-linéaire entre les spectres multifractals de ces deux descriptions (voir les illustrations)

Nous représentons dans la figure \ref{fig:PDFs} la probabilité de mesurer un incrément de vitesse δ_lu sur une échelle l (Eulérien) à partir d'un signal expérimental acquis en soufflerie (Modane), depuis la grande échelle (bas) jusqu'à une échelle dissipative (haut). Cette même représentation est effectuée dans le cadre Lagrangien où les récentes mesures expérimentales permettent de mesurer la probabilité des incréments temporels de vitesse Lagrangienne δ_τv à travers les échelles τ, depuis une grande échelle T jusqu'à celle des gradients. Nous constatons une déformation continue de la forme de ces densités de probabilité liée au phénomène d'intermittence. Remarquons ici, et cela n'est pas très évident dans cette représentation, que les densités dans le cadre Eulérien ne sont pas symétriques. Nous superposons ( traits continus) nos prédictions aux mesures expérimentales. L'accord se trouve être excellent. Afin de décrire l'ensemble de ces mesures expérimentales, acquises dans différentes géométries, à différents nombres de Reynolds, dans différents cadre descriptif, représentant l'ensemble des différentes échelles de la turbulence, nous avons utilisé un unique paramètre, plus précisément une fonction paramétrable, le spectre de singularités D(h), et une constante universelle R^* reliée à la constante de Kolmogorov, ce qui démontre le caractère unificateur de notre travail

Références

[1] O. Chanal, B. Chabaud, B. Castaing, and B. Hébral, Eur. Phys. J. B 17, 309 (2000).
[2] G. Ruiz-Chavarria, C. Baudet, and S. Ciliberto, Phys. Rev. Lett. 74, 1986 (1995).
[3] B. Castaing, Y. Gagne, and E. Hopfinger, Physica D 46, 177 (1990).
[4] S. Douady, Y. Couder, and M. E. Brachet, Phys. Rev. Lett. 67, 983 (1991).
[5] J.-F. Pinton and R. Labb´e, J. Phys. II France 4, 1461 (1994).
[6] O. Cadot, S. Douady, and Y. Couder, Phys. Fluids A 7, 630 (1995).
[7] U. Frisch, Turbulence, The Legacy of A.N. Kolmogorov (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).
[8] A. N. Kolmogorov, Dokl. Akad. Nauk SSSR 30, 299 (1941).
[9] A. N. Kolmogorov, J. Fluid Mech. 13, 82 (1962).
[10] A. M. Obukhov, J. Fluid Mech. 13, 77 (1962).
[11] G. Parisi and U. Frisch, in Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics, edited by M. Ghil, R. Benzi, and G. Parisi ((North-Holland, Amsterdam, 1985), p. 84).
[12] U. Frisch and M. Vergassola, Europhys. Lett. 14, 439 (1991).
[13] L. Chevillard, B. Castaing, and E. Lévêque, Eur. Phys. J. B 45, 561 (2005).
[14] L. Chevillard, B. Castaing, E. Lévêque, and A. Arneodo, Physica D 218, 77 (2006).
[15] G. A. Voth, K. Satyanarayan, and E. Bodenschatz, Phys. Fluids 10, 2268 (1998).
[16] N. Mordant, O. Michel, P. Metz, and J.-F. Pinton, Phys. Rev. Lett. 87, 21 (2001).
[17] L. Chevillard, S. G. Roux, E. Lévêque, N. Mordant, J.-F. Pinton, and A. Arneodo, Phys. Rev. Lett. 91, 214502 (2003).
[18] H. Tennekes and J. L. Lumley, A first Course in Turbulence (MIT Press, Cambridge, 1972).
[19] H. Tennekes, J. Fluid Mech. 67, 561 (1975).
[20] M. Nelkin and M. Tabor, Phys. Fluids A 2, 81 (1990).
[21] R. H. Kraichnan, Phys. Rev. Lett. 72, 1016 (1994).
[22] L. Chevillard, S. G. Roux, E. Lévêque, N. Mordant, J.-F. Pinton, and A. Arneodo, Phys. Rev. Lett. 95, 064501 (2005).
[23] E. Levêque, L. Chevillard, J.-F. Pinton, S. G. Roux, A. Arneodo, and N. Mordant, J. Turbulence 8, 3 (2007).

Publications correspondantes ( librement consultables):

L. Chevillard, S. G. Roux, E. Leveque, N. Mordant, J.-F. Pinton, A. Arneodo, Lagrangian Velocity Statistics in Turbulent Flows: Effects of Dissipation, Physical Review Letters, 91, 214502 (2003).
L. Chevillard, S. G. Roux, E. Leveque, N. Mordant, J.-F. Pinton, A. Arneodo, Intermittency of velocity time increments in turbulence, Physical Review Letters, 95, 064501 (2005).
L. Chevillard, B. Castaing, E. Leveque, On the Rapid Increase of Intermittency in the Near-Dissipation Range of Fully Developed Turbulence, European Physical Journal B, 45, 561 (2005).
L. Chevillard, B. Castaing, E. Leveque, A. Arneodo, Unified Multifractal Description of Velocity Increments Statistics in Turbulence: Intermittency and Skewness, Physica D 218, 77 (2006).
E. Leveque, L. Chevillard, J.-F. Pinton, S. G. Roux, A. Arneodo, N. Mordant, Lagrangian intermittencies in dynamic and static turbulent velocity fields from direct numerical simulations, J. Turbulence, 8, 3 (2007).